Équations en fonction de lnx

Exercices

 

Soient a et b deux nombres strictement positifs.

ln a = ln b si et seulement si a = b

 

et comme ln 1 = 0, on a :

ln x = 0 si et seulement si x = 1  

 

démonstration :

lnx = 0

on sait par définition que 0 = ln1

D'où l'équation de départ devient lnx = ln1

En appliquant la propriété principale lnx = ln1 est équivalent à x = 1.

 

Exemple 1 :

 

 Résoudre l'équation suivante lnx = 2

 

Pour pouvoir éliminer lnx selon la propriété précédente, il faut transformer 2 en ln ????

or en se référant au cours sur les logarithmes

Donc l'équation devient

Finalement x = e² et

 

Exemple 2 :

 

 Résoudre l'équation suivante lnx = 2 + ln 3

 

Gardons comme objectif de transformer 2 + ln3 en un seul ln

De nouveau on écrit que , donc

Donc lnx = ln 3e²

Finalement x = 3e² et on conclut par 

 

Exemple 3 : Cet exemple requiert les connaissances sur les polynômes du second degré.

 

 Résoudre l'équation suivante lnx² = ln( -x+6 )

 

ATTENTION : Il convient d'étudier les conditions de validité de cette équation

Pour pouvoir calculer lna, il faut que a soit  strictement positif

En ce qui concerne lnx², aucun problème car x² > 0

Par contre il faut vérifier quel est l'intervalle pour lequel -x+6 > 0

Sans aucun problème on a x < 6.

L'équation est définie pour x < 6.

Comme à gauche et à droite on a un seul ln. On peut écrire x² = -x + 6.

L'équation du second degré devient  x² + x - 6 = 0.

Les solutions sont x = 2 ou x = -3. Les deux solutions sont bien inférieures à 6.

Donc

 

Exercices :

: Correction

Résoudre dans l'intervalle de validité les équations suivantes :

Équation I  
1 lnx = 3 ]0 ; +∞ [ 
2 2 + lnx = 3 ]0 ; +∞ [ 
3 4 lnx = 3 ]0 ; +∞ [ 
4 ]0 ; +∞ [ 
5 2 + lnx = ln3 ]0 ; +∞ [
6 ln(x+6) = ln5 x > -6
7 ln(x+6) = 5 x > -6
8 3 + ln(x+2) = ln2 x > -2
       
9 2ln(x+2)=4 x > -2
10 x > -3