Limite et changement de variable

   

1.   Changement de variable

2.    Limite et changement de variable.

Exemple 1
Exemple 2

 

1.    Changement de variable

On définit par changement de variable le fait de transformer une équation fonction d'une variable en fonction d'une autre variable ( ATTENTION, x et X sont deux variables différentes ).

Voir aussi cours sur le changement de variable et les fonctions composées

 

2.    Limite et changement de variable.

Parfois pou certaines fonctions il est bien commode de faire un changement de variable pour éliminer les problèmes. En aucun cas, il n'affecte le résultat.

Si x tend vers a, quelque soit la valeur de a, un changement de variable modifiera le raisonnement puisque x a été remplacé par X.

Exemple 1 :

Soit f(x) la fonction définie pour x > 1, par  . Déterminons la limite en 3 .

Sans changement de variable , on a 
Avec le changement de variable suivant X = x - 1, on transforme f en fonction de X, pour trouver .
Comme on désire travailler avec X, si x tend vers 3, X tend vers 3-1=2 car X = x - 1. D'où X tend vers 2.
On obtient bien le même résultat !!!! Ici pour ce cas le changement de variable n'est pas très intéressant.

Exemple 2 : 

Reprenons  f(x) la fonction définie pour x > 1, par  . Déterminons la limite en +¥ .

Faisons le même changement de variable X = x -1.
f(x) devient . 
Comme x tend vers +¥ alors X tend vers +¥ ( On remplace...)
Calcul de limite de .
Le calcul de limite est assez facile ici, on a . Le changement de variable nous oblige à travailler avec X et non x.
D'où .
On peut donc conclure . Si nous avions travaillé avec x, nous aurions trouvé le même résultat.

Il semble pour ce cas de figure que le changement de variable nous ait faciliter le travail.