Théorème fondamental

Quels que soient a et b deux nombres strictement positifs.

Démonstration :

Étudions la fonction définie de ]0 ; +¥ [ dans IR telle que :

f(x) = ln (a x) – ln x

donc f est la fonction constante et quel que soit x, on a f(x) = k

en particulier, f(1) = k, or f(1) = ln a– ln 1 = ln a donc k = ln a

Il résulte donc que quel que soit x appartenant à ]0 ; +¥ [ on a :

ln ax – ln x = ln a ou encore ; ln ax = ln x + ln a (ce qui est bien sûr valable pour x = b)

Propriété 1 :

Propriété 2 :

Propriété 3 :